|
1. Сколько существует натуральных чисел, меньших 1000, которые не делятся ни на 5 ни на 7?
Решение.
Среди 999 чисел, меньших 1000,
199 чисел кратны 5: 999 : 5 = 199 (ост. 4).
В этом же интервале имеются 142 числа, кратных 7: 999 : 7 = 142 (ост. 5) .
Среди 142 чисел, кратных 7, имеются числа, которые делятся также и на 5, то есть кратные 35.
Всего таких чисел 28: 999 : 35= 28 (ост. 19) .
Эти 28 чисел уже учтены в числе 199, найденном ранее.
Поэтому количество чисел, меньших 1000, которые делятся либо на 5, либо на 7, равно 199 + 142 - 28 = 313.
В рассматриваемом интервале остается 999 - 313 = 686 чисел,
которые не делятся ни на 5, ни на 7.
Ответ: 686 чисел
2. Покупатель взял в магазине пакет молока, стоимостью 6 300 рублей, пачку творога, стоимостью 8100 рублей, 6 булочек и 3 килограмма сахара.
Когда кассир выбила чек на 55 400 рублей, покупатель тотчас потребовал проверить расчет и исправить ошибку.
Как определил покупатель, что счет неверен?
Решение.
Стоимость купленных товаров каждого вида выражается числом, кратным 3-м
(для товаров первых двух видов кратна 3-м цена, для остальных - количество купленных товаров).
Если каждое из слагаемых делится на 3, то и сумма должна делится на 3.
Число 55 400 на 3 не делится; следовательно, расчет неверен.
3. Установите, делится ли
1+2+3+…+2013 на 2013;
1+2+3+…+2014 на 2014?
Решение.
Рассмотрим сумму 1+2+3+…+2013 = (1+2012)+(2+2011)+ …+(1006+1007) + 2013 = 2013∙1006+2013= = 2013∙(1006+1) = 2013∙1007, первый множитель делится на 2013, значит и произведение делится на 2013. Таким образом и сумма делится на 2013.
Ответ: делится.
Рассмотрим сумму 1+2+3+…+2014 = 2015∙1007, полученное произведение не делится на 2014, значит и сумма не делится на 2014.
Ответ: не делится.
4.Существуют ли такие натуральные числа X и Y, что X∙Y∙(X – Y)=2013?
Решение.
Произведение трех множителей 2013 – число нечетное, значит, каждый из множителей должен быть нечетным, но, если X и Y – нечетные числа, то их разность – число четное. Получили противоречие, значит, не существует таких натуральных чисел X и Y, что
X∙Y∙(X – Y) = 2013.
Ответ: не существуют
5. Какие две цифры надо приписать к числу 2014 справа, чтобы получившееся шестизначное число делилось на 56?
Решение.
Припишем к числу 2014 справа два нуля, получим 201400.
201400:56=3596 (ост. 24)
201400–24=201376 – число, которое делится на 56 нацело.
201376+56=201432 – число, которое делится на 56 нацело.
Тогда приписать к 2014 надо 32.
201432+56=201488 – число, которое делится на 56 нацело.
Тогда приписать к 2014 надо 88.
Если к 201488 прибавить еще раз 56, то изменятся цифры четырех старших разрядов, значит, больше вариантов нет.
Ответ: 32; 88.
Лучшие решения задач предоставили Конышев А.(6А), Янчи С.(6Б), Андриевская Е.(5Б),
Ганевич Е.(5А), Рудой Е.(5А), Гарасимович К.(5А)
Поздравляем победителей! Приглашаем всех желающих принять участие в следующем этапе.
|
Избранное: 0
